Изучаем тригонометрические функции, геометрические прогрессии, логарифмы и показательную функцию, планиметрию. Углубляемся в алгебру!
Тригонометрические функции — функции, связывающие угол треугольника с отношением его сторон. В 10 классе мы изучаем их как функции действительного аргумента.
Определения для любого угла:
Основные свойства:
Формулы приведения:
Тригонометрические уравнения:
Найдите sin 225°.
Решение: 225° = 180° + 45°. По формулам приведения: sin(π + α) = −sin α.
sin 225° = −sin 45° = −√2/2.
Ответ: −√2/2
Решите уравнение: 2sin x − 1 = 0, x ∈ [0; 2π].
Решение:
2sin x = 1 → sin x = 1/2.
arcsin(1/2) = π/6. Второе решение: x = π − π/6 = 5π/6.
Ответ: x₁ = π/6, x₂ = 5π/6
Упростите выражение: cos²α − sin²α.
Решение: Это формула cos 2α (формула двойного угла):
Ответ: cos 2α
Найдите cos 300°.
300° = 360° − 60°. cos(2π − α) = cos α.
cos 300° = cos 60° = 1/2.
Ответ: 1/2
Решите уравнение: cos x = 0, x ∈ [0; 2π].
cos x = 0, когда x = π/2 + πn.
При n = 0: x = π/2. При n = 1: x = 3π/2.
Ответ: x₁ = π/2, x₂ = 3π/2
Вычислите: sin 70° · cos 20° + cos 70° · sin 20°.
По формуле синуса суммы: sin α · cos β + cos α · sin β = sin(α + β).
sin(70° + 20°) = sin 90° = 1.
Ответ: 1
Найдите cos 150°.
Решение: 150° = 180° − 30°. По формулам приведения: cos(π − α) = −cos α.
cos 150° = −cos 30° = −√3/2.
Ответ: −√3/2
Решите уравнение: sin x = −1/2, x ∈ [0; 2π].
Решение:
arcsin(−1/2) = −π/6. Второе решение: x = π − (−π/6) = 7π/6.
Также x = 2π + (−π/6) = 11π/6.
Ответ: x₁ = 7π/6, x₂ = 11π/6
Найдите tg 225°.
225° = 180° + 45°. По формулам приведения: tg(π + α) = tg α.
tg 225° = tg 45° = 1.
Ответ: 1
Решите уравнение: cos x = √2/2, x ∈ [0; 2π].
arccos(√2/2) = π/4. Второе решение: x = 2π − π/4 = 7π/4.
Ответ: x₁ = π/4, x₂ = 7π/4
1. Чему равен sin 180°?
2. Период функции tg x равен:
3. Сколько решений имеет уравнение sin x = 1 на промежутке [0; 2π]?
4. Чему равен cos 360°?
5. Чему равен sin(π/3)?
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число q (знаменатель прогрессии).
Сумма первых n членов:
Бесконечная геометрическая прогрессия:
Если |q| < 1, то сумма бесконечной прогрессии сходится:
Свойства:
Найдите 7-й член геометрической прогрессии: b₁ = 3, q = 2.
Решение:
b₇ = 3 · 2⁶ = 3 · 64 = 192.
Ответ: 192
Найдите сумму первых 5 членов ГП: b₁ = 2, q = 3.
Решение:
S₅ = 2 · (3⁵ − 1)/(3 − 1) = 2 · (243 − 1)/2 = 242.
Ответ: 242
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: b₁ = 6, q = 1/3.
Решение:
|q| = 1/3 < 1, сумма существует.
S = 6 / (1 − 1/3) = 6 / (2/3) = 9.
Ответ: 9
В геометрической прогрессии b₁ = 5, q = −2. Найдите b₄.
b₄ = 5 · (−2)³ = 5 · (−8) = −40.
Ответ: −40
Сумма первых 4 членов ГП равна 30. Первый член равен 2. Найдите q.
30 = 2 · (q⁴ − 1)/(q − 1)
15 = (q⁴ − 1)/(q − 1) = q³ + q² + q + 1
При q = 2: 8 + 4 + 2 + 1 = 15 ✓
Ответ: q = 2
Найдите сумму бесконечной прогрессии: b₁ = 10, q = 0,4.
|q| = 0,4 < 1, сумма существует.
S = 10 / (1 − 0,4) = 10 / 0,6 = 50/3 ≈ 16,67.
Ответ: 50/3
В ГП b₃ = 12, b₅ = 48 (q > 0). Найдите b₁ и q.
Решение:
b₃ = b₁ · q² = 12 и b₅ = b₁ · q⁴ = 48.
Разделим: b₅/b₃ = q² = 48/12 = 4, следовательно q = ±2.
При q = 2: b₁ = 12/4 = 3. Проверка: b₅ = 3 · 16 = 48 ✓
Ответ: b₁ = 3, q = 2
Найдите сумму первых 8 членов ГП: b₁ = 1, q = 2.
Решение:
S₈ = 1 · (2⁸ − 1)/(2 − 1) = (256 − 1)/1 = 255.
Ответ: 255
b₁ = 5, q = 3. Найдите сумму первых 4 членов ГП.
S₄ = 5 · (3⁴ − 1)/(3 − 1) = 5 · (81 − 1)/2 = 5 · 40 = 200.
Ответ: 200
Сумма бесконечной ГП равна 18, знаменатель q = 1/3. Найдите первый член.
S = b₁ / (1 − q) → 18 = b₁ / (1 − 1/3) = b₁ / (2/3).
b₁ = 18 · (2/3) = 12.
Ответ: 12
1. b₁ = 4, q = 3. Чему равен b₃?
2. Сумма бесконечной ГП с b₁ = 8, q = 1/2 равна:
3. b₁ = 1, q = −1. Каков 101-й член?
4. b₁ = 2, q = 3. Чему равен b₄?
5. Сумма бесконечной ГП: b₁ = 9, q = 2/3. Найдите S.
Показательная функция — функция вида y = aˣ, где a > 0, a ≠ 1.
Свойства:
Логарифм — степень, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число N:
Свойства логарифмов:
Логарифмическая функция: y = logₐ x — обратная к показательной.
Вычислите: log₂ 32 + log₃ 27.
Решение:
log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5 (т.к. 2⁵ = 32)
log₃ 27 = log₃ 3³ = 3 (т.к. 3³ = 27)
5 + 3 = 8.
Ответ: 8
Решите уравнение: 2ˣ = 16.
Решение:
2ˣ = 16 = 2⁴, следовательно x = 4.
Ответ: x = 4
Упростите: log₅ 10 − log₅ 2.
Решение:
По свойству разности: log₅ 10 − log₅ 2 = log₅(10/2) = log₅ 5 = 1.
Ответ: 1
Вычислите: 3^(log₃ 7).
По свойству a^(logₐ N) = N:
3^(log₃ 7) = 7.
Ответ: 7
Решите: log₂(x + 1) = 3.
log₂(x + 1) = 3 → x + 1 = 2³ = 8 → x = 7.
Проверка: log₂ 8 = 3 ✓
Ответ: x = 7
Решите уравнение: 5 · 2ˣ − 20 = 0.
5 · 2ˣ = 20 → 2ˣ = 4 → 2ˣ = 2² → x = 2.
Ответ: x = 2
Вычислите: log₄ 64.
Решение:
log₄ 64 = log₄ 4³ = 3 (т.к. 4³ = 64).
Ответ: 3
Решите уравнение: 3^(2x) = 81.
Решение:
81 = 3⁴, следовательно 3^(2x) = 3⁴.
2x = 4 → x = 2.
Ответ: x = 2
Решите: log₂(x + 3) = 4.
log₂(x + 3) = 4 → x + 3 = 2⁴ = 16 → x = 13.
Проверка: log₂ 16 = 4 ✓
Ответ: x = 13
Вычислите: log₃ 81 − log₃ 3.
log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4. log₃ 3 = 1.
4 − 1 = 3.
Ответ: 3
1. log₁₀ 1000 = ?
2. Если 2ˣ = 8, то x = ?
3. log₂ 16 + log₂ 2 = ?
4. log₇ 49 = ?
5. Если 5ˣ = 1/25, то x = ?
Планиметрия — раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости.
Ключевые теоремы:
Формулы площадей фигур:
Вписанные и описанные окружности:
В треугольнике ABC: a = 5, b = 7, C = 60°. Найдите площадь и сторону c.
Решение:
S = (1/2) · 5 · 7 · sin 60° = (35/2) · (√3/2) = 35√3/4.
c² = 25 + 49 − 2 · 5 · 7 · cos 60° = 74 − 35 = 39, c = √39.
Ответ: S = 35√3/4, c = √39
Найдите радиус описанной окружности треугольника со сторонами 6, 8 и 10.
Решение:
Проверяем: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Треугольник прямоугольный!
R = c/2 = 10/2 = 5.
Ответ: 5
Площадь равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите его сторону.
Решение:
S = (a² · √3)/4 → 9√3 = (a² · √3)/4 → a² = 36 → a = 6.
Ответ: 6
В прямоугольном треугольнике катеты равны 9 и 12. Найдите гипотенузу и радиус вписанной окружности.
c = √(81 + 144) = √225 = 15.
r = (a + b − c)/2 = (9 + 12 − 15)/2 = 6/2 = 3.
Ответ: c = 15, r = 3
Два угла треугольника равны 45° и 60°. Найдите третий угол.
Сумма углов треугольника = 180°.
Третий угол = 180° − 45° − 60° = 75°.
Ответ: 75°
Основания трапеции равны 6 и 14, боковая сторона = 5 и образует угол 90° с меньшим основанием. Найдите площадь.
Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой: h = 5.
S = ((6 + 14) · 5)/2 = (20 · 5)/2 = 50.
Ответ: 50
Найдите площадь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
Решение:
Проверяем: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Треугольник прямоугольный!
S = (1/2) · 3 · 4 = 6.
Ответ: 6
Найдите радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник со стороной 6.
Решение:
Полупериметр: p = (6 + 6 + 6)/2 = 9.
Площадь: S = (6² · √3)/4 = 9√3.
r = S/p = 9√3/9 = √3.
Ответ: √3
В треугольнике a = 7, b = 8, C = 60°. Найдите сторону c по теореме косинусов.
c² = a² + b² − 2ab·cos C = 49 + 64 − 2·7·8·cos 60° = 113 − 56 = 57.
c = √57.
Ответ: √57
Найдите площадь ромба с диагоналями 6 и 8.
Площадь ромба: S = (d₁ · d₂)/2 = (6 · 8)/2 = 24.
Ответ: 24
1. В равностороннем треугольнике со стороной 4 высота равна:
2. Площадь круга с радиусом 5 равна:
3. По теореме Пифагора, гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4:
4. Сумма углов четырёхугольника равна:
5. В равностороннем треугольнике со стороной 6 радиус вписанной окружности равен:
Тождества — равенства, верные для всех допустимых значений переменных.
Основные тождества:
Формулы двойного угла:
Формулы суммы и разности:
Вычислите sin²15° + cos²15°.
Решение:
По основному тождеству: sin²α + cos²α = 1 для любого α.
sin²15° + cos²15° = 1.
Ответ: 1
Вычислите cos 75° · cos 15° − sin 75° · sin 15°.
Решение:
Это формула cos(α + β): cos α · cos β − sin α · sin β = cos(α + β).
cos(75° + 15°) = cos 90° = 0.
Ответ: 0
Найдите sin 10° · cos 10°.
Решение:
Используем формулу sin 2α = 2 sin α cos α → sin α cos α = (1/2) sin 2α.
sin 10° · cos 10° = (1/2) · sin 20° ≈ 0,171.
Ответ: (1/2) · sin 20°
Вычислите: 1 − 2sin²45°.
1 − 2sin²α = cos 2α, при α = 45°:
cos 90° = 0.
Или напрямую: 1 − 2 · (1/2) = 1 − 1 = 0.
Ответ: 0
Упростите: sin 50°/cos 40°.
sin 50° = cos(90° − 50°) = cos 40°.
sin 50°/cos 40° = cos 40°/cos 40° = 1.
Ответ: 1
Вычислите: tg α · cos α при α = 60°.
tg α · cos α = (sin α / cos α) · cos α = sin α.
sin 60° = √3/2.
Ответ: √3/2
Найдите sin 75° по формулам суммы углов.
Решение:
sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30°.
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
Ответ: (√6 + √2)/4
Упростите: (1 − cos 2α) / (2sin²α).
Решение:
cos 2α = 1 − 2sin²α, следовательно 1 − cos 2α = 2sin²α.
2sin²α / (2sin²α) = 1.
Ответ: 1
Найдите cos 105°.
cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° · cos 45° − sin 60° · sin 45°.
= (1/2)(√2/2) − (√3/2)(√2/2) = (√2 − √6)/4.
Ответ: (√2 − √6)/4
Вычислите: tg 15°.
tg 15° = tg(45° − 30°) = (tg 45° − tg 30°)/(1 + tg 45° · tg 30°).
= (1 − √3/3)/(1 + √3/3) = (3 − √3)/(3 + √3) = 2 − √3.
Ответ: 2 − √3
1. sin 2α = ?
2. cos(α + β) = ?
3. Если sin α = 3/5, то cos²α = ?
4. sin(α − β) = ?
5. 2sin²α + cos 2α = ?
Комплексное число — число вида z = a + bi, где a и b — действительные числа, i — мнимая единица, i² = −1.
Основные понятия:
Действия с комплексными числами:
Свойства модуля:
Вычислите: (3 + 2i) + (1 − 4i).
Решение:
(3 + 1) + (2 − 4)i = 4 − 2i.
Ответ: 4 − 2i
Вычислите: (2 + i)(3 − 2i).
Решение:
= 2·3 + 2·(−2i) + i·3 + i·(−2i) = 6 − 4i + 3i − 2i² = 6 − i + 2 = 8 − i.
Ответ: 8 − i
Найдите модуль числа 3 − 4i.
Решение:
|3 − 4i| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Ответ: 5
Найдите (1 + i)².
(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
Ответ: 2i
Вычислите: (5 + 12i)(5 − 12i).
Это произведение числа на сопряжённое: (a + bi)(a − bi) = a² + b².
5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Ответ: 169
При каком значении x число (1 + i)(x + 2i) является действительным?
(1 + i)(x + 2i) = x + 2i + xi + 2i² = (x − 2) + (2 + x)i.
Число действительное, когда мнимая часть = 0: 2 + x = 0 → x = −2.
Ответ: x = −2
1. Чему равен i³?
2. (2 + 3i)(2 − 3i) = ?
3. Модуль числа 5 + 12i равен:
Комбинаторика — раздел математики, изучающий количество способов расположения и выбора объектов.
Основные формулы:
Классическое определение вероятности:
где m — число благоприятных исходов, n — общее число равновозможных исходов.
Формулы сложения и умножения:
Из 5 книг нужно выбрать 3. Сколько способов существует?
Решение:
C(5, 3) = 5! / (3! · 2!) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10.
Ответ: 10
Бросаем игральный кубик. Какова вероятность выпадения числа больше 3?
Решение:
Благоприятные исходы: 4, 5, 6 — штуки. Всего исходов: 6.
P = 3/6 = 1/2.
Ответ: 1/2
Из 10 учеников нужно выбрать классного старосту и его заместителя. Сколько способов?
Решение:
A(10, 2) = 10! / (10 − 2)! = 10 · 9 = 90.
Ответ: 90
Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?
A(5, 3) = 5! / (5 − 3)! = 5 · 4 · 3 = 60.
Ответ: 60
В урне 7 белых и 3 чёрных шара. Наугад вытягивают 2 шара. Какова вероятность того, что оба белые?
Всего способов выбрать 2 из 10: C(10, 2) = 45.
Благоприятных (2 белых из 7): C(7, 2) = 21.
P = 21/45 = 7/15.
Ответ: 7/15
В классе 20 учеников: 12 девочек и 8 мальчиков. Наугад выбирают одного ученика. Найдите вероятность того, что это мальчик.
Благоприятных исходов: 8 (мальчиков). Всего: 20.
P = 8/20 = 2/5.
Ответ: 2/5
1. C(6, 2) = ?
2. Вероятность выпадения орла при броске монеты:
3. Число перестановок 4 элементов равно: