Производная и её приложения, интегралы, стереометрия, подготовка к ЕГЭ. Финальный курс школьной математики!
Производная функции f(x) в точке x₀ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
Производные основных функций:
Правила дифференцирования:
Применение производной:
Найдите производную функции y = 3x⁴ − 2x² + 5x − 1.
Решение:
y' = 12x³ − 4x + 5.
Ответ: y' = 12x³ − 4x + 5
Найдите производную функции y = eˣ · sin x.
Решение: По правилу произведения:
y' = (eˣ)' · sin x + eˣ · (sin x)' = eˣ · sin x + eˣ · cos x = eˣ(sin x + cos x).
Ответ: y' = eˣ(sin x + cos x)
Найдите точки экстремума функции y = x³ − 3x + 2.
Решение:
y' = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
y' = 0 при x = 1 и x = −1.
y'' = 6x. y''(1) = 6 > 0 → минимум, y''(−1) = −6 < 0 → максимум.
y(1) = 1 − 3 + 2 = 0 (минимум), y(−1) = −1 + 3 + 2 = 4 (максимум).
Ответ: максимум 4 при x = −1, минимум 0 при x = 1
Найдите производную: y = ln x + x².
y' = (ln x)' + (x²)' = 1/x + 2x.
Ответ: y' = 1/x + 2x
На каких промежутках функция y = x³ − 12x возрастает?
y' = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2).
y' > 0 при x < −2 или x > 2.
Ответ: (−∞; −2) и (2; +∞)
Найдите производную: y = cos(3x).
По правилу цепочки: y' = −sin(3x) · (3x)' = −3sin(3x).
Ответ: y' = −3sin(3x)
Найдите производную: y = x · eˣ.
Решение: По правилу произведения:
y' = (x)' · eˣ + x · (eˣ)' = 1 · eˣ + x · eˣ = eˣ(1 + x).
Ответ: y' = eˣ(1 + x)
Найдите производную: y = ln(x² + 1).
Решение: По правилу цепочки:
y' = 1/(x² + 1) · (x² + 1)' = 2x/(x² + 1).
Ответ: y' = 2x/(x² + 1)
Найдите производную: y = x³ · sin x.
По правилу произведения: y' = (x³)' · sin x + x³ · (sin x)'.
y' = 3x² · sin x + x³ · cos x = x²(3sin x + x · cos x).
Ответ: y' = x²(3sin x + x · cos x)
На каких промежутках функция y = x⁴ − 4x³ убывает?
y' = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3).
y' < 0 при x < 3 (x ≠ 0). На промежутке (−∞; 0) y' < 0 и на (0; 3) y' < 0.
Ответ: (−∞; 3), x ≠ 0
1. Чему равна производная (x⁵)'?
2. Чему равна (sin x + cos x)'?
3. (e^(2x))' = ?
4. (ln(x²))' = ?
5. (x² · eˣ)' = ?
Неопределённый интеграл — операция, обратная дифференцированию. Это семейство всех функций, производная которых равна подынтегральной функции.
Основные интегралы:
Свойства:
Определённый интеграл — число, равное разности значений первообразной на границах:
Геометрический смысл: определённый интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью Ox.
Найдите неопределённый интеграл: ∫(3x² + 2x − 1)dx.
Решение:
∫(3x² + 2x − 1)dx = 3 · x³/3 + 2 · x²/2 − x + C = x³ + x² − x + C.
Ответ: x³ + x² − x + C
Вычислите определённый интеграл: ∫[0,1] (2x + 1)dx.
Решение:
∫(2x + 1)dx = x² + x + C.
F(1) = 1 + 1 = 2, F(0) = 0.
∫[0,1] = 2 − 0 = 2.
Ответ: 2
Найдите ∫ eˣ dx от 0 до 2.
Решение:
∫ eˣ dx = eˣ + C.
e² − e⁰ = e² − 1 ≈ 7,389 − 1 = 6,389.
Ответ: e² − 1
Найдите: ∫(5x⁴ − 3x² + 4)dx.
∫(5x⁴ − 3x² + 4)dx = x⁵ − x³ + 4x + C.
Ответ: x⁵ − x³ + 4x + C
Вычислите ∫[1,e] (1/x)dx.
∫(1/x)dx = ln|x| + C.
ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
Ответ: 1
Найдите ∫ sin x dx от 0 до π.
∫ sin x dx = −cos x + C.
−cos π − (−cos 0) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2.
Ответ: 2
Найдите: ∫(4x³ − 6x)dx.
Решение:
∫(4x³ − 6x)dx = 4 · x⁴/4 − 6 · x²/2 + C = x⁴ − 3x² + C.
Ответ: x⁴ − 3x² + C
Вычислите: ∫[0, π/2] cos x dx.
Решение:
∫ cos x dx = sin x + C.
sin(π/2) − sin 0 = 1 − 0 = 1.
Ответ: 1
Найдите: ∫(eˣ + e⁻ˣ)dx.
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ e⁻ˣ dx = −e⁻ˣ + C.
∫(eˣ + e⁻ˣ)dx = eˣ − e⁻ˣ + C.
Ответ: eˣ − e⁻ˣ + C
Вычислите: ∫[1,4] √x dx.
∫√x dx = ∫x^(1/2) dx = (2/3)x^(3/2) + C.
(2/3) · 4^(3/2) − (2/3) · 1^(3/2) = (2/3) · 8 − (2/3) · 1 = 16/3 − 2/3 = 14/3.
Ответ: 14/3
1. ∫ x³ dx = ?
2. ∫[0,2] x dx = ?
3. ∫ cos x dx = ?
4. ∫ 2x dx = ?
5. ∫₋₁¹ x² dx = ?
Стереометрия — раздел геометрии, изучающий трёхмерные фигуры.
Основные фигуры и формулы объёма:
Пирамида:
Площадь поверхности:
Сечения: сечение плоскостью куба может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником.
Найдите объём конуса с радиусом основания 3 и высотой 4.
Решение:
V = (1/3)π · 9 · 4 = 12π.
Образующая: l = √(9 + 16) = 5.
Ответ: 12π
Найдите площадь поверхности шара радиусом 6.
Решение:
S = 4π · 36 = 144π.
Ответ: 144π
Найдите объём куба, если длина его диагонали равна 6.
Решение:
Диагональ куба: d = a√3 → a = 6/√3 = 2√3.
V = (2√3)³ = 8 · 3√3 = 24√3.
Ответ: 24√3
Найдите объём цилиндра с радиусом 5 и высотой 8.
V = π · 25 · 8 = 200π.
Ответ: 200π
Высота правильной пирамиды равна 6, а сторона квадратного основания — 4. Найдите объём.
S_осн = 4² = 16.
V = (1/3) · 16 · 6 = 32.
Ответ: 32
Радиус шара равен 3. Найдите объём куба, вписанного в этот шар.
Диагональ куба = диаметр шара = 6.
a√3 = 6 → a = 6/√3 = 2√3.
V = (2√3)³ = 8 · 3√3 = 24√3.
Ответ: 24√3
Найдите объём шара с радиусом 6.
Решение:
V = (4/3)πr³ = (4/3)π · 216 = 288π.
Ответ: 288π
Найдите полную поверхность конуса с радиусом основания 4 и образующей 5.
Решение:
S = πr² + πrl = π · 16 + π · 4 · 5 = 16π + 20π = 36π.
Ответ: 36π
Найдите объём правильного тетраэдра со стороной 6.
V = (a³ · √2) / 12 = (216 · √2) / 12 = 18√2.
Ответ: 18√2
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 12.
d = √(a² + b² + c²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
Ответ: 13
1. Объём шара с радиусом 3:
2. Боковая поверхность цилиндра (r = 2, h = 5):
3. Объём конуса (r = 1, h = 3):
4. Объём цилиндра (r = 3, h = 10):
5. Площадь полной поверхности куба с ребром 4:
Касательная к графику функции y = f(x) в точке x₀ — прямая, которая «касается» графика в этой точке.
Уравнение касательной:
Задачи на наибольшее/наименьшее значение:
Задачи на скорость и ускорение:
Найдите уравнение касательной к графику y = x² в точке x = 3.
Решение:
y(3) = 9. y' = 2x, y'(3) = 6.
y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.
Ответ: y = 6x − 9
Брошенное тело движется по закону s(t) = 5t − 5t² (м). Найдите скорость в момент t = 1.
Решение:
v(t) = s'(t) = 5 − 10t.
v(1) = 5 − 10 = −5 м/с (тело движется вниз).
Ответ: −5 м/с
Найдите наибольшее значение функции y = −x² + 4x на отрезке [0; 5].
Решение:
y' = −2x + 4 = 0 → x = 2.
y(2) = −4 + 8 = 4. y(0) = 0, y(5) = −25 + 20 = −5.
Наибольшее значение: 4 при x = 2.
Ответ: 4
Найдите уравнение касательной к y = ln x в точке x = 1.
y(1) = ln 1 = 0. y' = 1/x, y'(1) = 1.
y = 0 + 1 · (x − 1) = x − 1.
Ответ: y = x − 1
Точка движется по закону s(t) = t³ − 6t² + 9t. Найдите моменты времени, когда скорость равна нулю.
v(t) = s'(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t² − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3).
v(t) = 0 при t = 1 и t = 3.
Ответ: t = 1 и t = 3
Найдите наименьшее значение y = eˣ − 2x на промежутке [0; 2].
y' = eˣ − 2 = 0 → eˣ = 2 → x = ln 2 ≈ 0,693.
y(ln 2) = 2 − 2ln 2 ≈ 0,614.
y(0) = 1, y(2) = e² − 4 ≈ 3,389.
Ответ: 2 − 2ln 2
Найдите уравнение касательной к графику y = eˣ в точке x = 0.
Решение:
y(0) = e⁰ = 1. y' = eˣ, y'(0) = 1.
y = 1 + 1 · (x − 0) = x + 1.
Ответ: y = x + 1
Тело брошено вверх. Закон движения: s(t) = 10t − 5t² (м). Найдите наибольшую высоту.
Решение:
v(t) = s'(t) = 10 − 10t = 0 → t = 1.
s(1) = 10 − 5 = 5 м.
Ответ: 5 м
Найдите уравнение касательной к y = 1/x в точке x = 1.
y(1) = 1. y' = −1/x², y'(1) = −1.
y = 1 + (−1) · (x − 1) = 1 − x + 1 = 2 − x.
Ответ: y = 2 − x
На каком промежутке функция y = x · ln x возрастает?
y' = ln x + x · (1/x) = ln x + 1.
y' > 0 при ln x > −1, т.е. x > e⁻¹ = 1/e.
Ответ: (1/e; +∞)
1. Уравнение касательной к y = x² в точке x = 2:
2. Скорость s(t) = t² в момент t = 3:
3. На каком промежутке y = x³ − 3x убывает?
4. Уравнение касательной к y = x² в точке x = 1:
5. Ускорение тела s(t) = t³ в момент t = 2:
ЕГЭ по математике (профильный уровень) включает 12 заданий. Вот основные темы:
Структура экзамена:
Ключевые темы для подготовки:
Советы по подготовке:
Решите уравнение: 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0.
Решение:
Положим t = 2ˣ (t > 0): t² − 3t − 4 = 0.
D = 9 + 16 = 25. t₁ = (3 + 5)/2 = 4, t₂ = (3 − 5)/2 = −1 (не подходит).
2ˣ = 4 → x = 2.
Ответ: x = 2
Найдите площадь между графиками y = x² и y = x + 2.
Решение:
Точки пересечения: x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x₁ = −1, x₂ = 2.
S = ∫[−1,2] ((x + 2) − x²) dx = ∫[−1,2] (−x² + x + 2) dx.
= [−x³/3 + x²/2 + 2x] from −1 to 2
= (−8/3 + 2 + 4) − (1/3 + 1/2 − 2) = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 9/2.
Ответ: 9/2
Найдите все значения a, при которых уравнение sin x = a + 1/2 имеет ровно три корня на [0; 2π].
Решение:
График sin x на [0; 2π] проходит через максимум 1 при x = π/2 и минимум −1 при x = 3π/2.
Горизонтальная прямая sin x = C пересекает график sin x на [0; 2π]:
• 0 решений при C > 1 или C < −1;
• 1 решение при C = 1 (x = π/2) или C = −1 (x = 3π/2);
• 2 решения при −1 < C < 1 и C ≠ 0;
• 3 решения при C = 0 (x = 0, π, 2π).
Итого, ровно три корня при C = 0, то есть a + 1/2 = 0 → a = −1/2.
Ответ: a = −1/2
Решите: log₂(x + 3) + log₂(x − 1) = 3.
log₂((x + 3)(x − 1)) = 3 → (x + 3)(x − 1) = 8.
x² + 2x − 3 = 8 → x² + 2x − 11 = 0.
D = 4 + 44 = 48. x = (−2 + √48)/2 = −1 + 2√3.
Проверка: x − 1 = −2 + 2√3 > 0 ✓
Ответ: x = −1 + 2√3
Найдите площадь фигуры, ограниченной y = sin x и осью Ox на [0; π].
S = ∫[0,π] sin x dx = [−cos x] from 0 to π = −cos π − (−cos 0) = 1 + 1 = 2.
Ответ: 2
Конус и цилиндр имеют общее основание (r = 3) и общую высоту (h = 6). Найдите объём части цилиндра, остающейся за пределами конуса.
V_конуса = (1/3)π · 9 · 6 = 18π.
V_цилиндра = π · 9 · 6 = 54π.
Часть цилиндра за пределами конуса: 54π − 18π = 36π.
Ответ: 36π
Решите уравнение: |x² − 4| = 3.
Решение:
Случай 1: x² − 4 = 3 → x² = 7 → x = ±√7.
Случай 2: x² − 4 = −3 → x² = 1 → x = ±1.
Ответ: x ∈ {−√7; −1; 1; √7}
Найдите площадь фигуры, ограниченной y = x² и y = 2x.
Решение:
Точки пересечения: x² = 2x → x(x − 2) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 2.
S = ∫[0,2] (2x − x²) dx = [x² − x³/3] от 0 до 2 = (4 − 8/3) − 0 = 4/3.
Ответ: 4/3
Решите: log₃(x − 1) + log₃(x + 1) = 1.
log₃((x − 1)(x + 1)) = 1 → x² − 1 = 3 → x² = 4 → x = ±2.
При x = −2: x − 1 = −3 < 0 — не подходит. При x = 2: x − 1 = 1 > 0 ✓
Ответ: x = 2
Вычислите: ∫[0,1] x · eˣ dx.
Интегрирование по частям: u = x, dv = eˣdx → du = dx, v = eˣ.
= [x · eˣ]₀¹ − ∫[0,1] eˣ dx = e − (e − 1) = 1.
Ответ: 1
1. log₃ 27 = ?
2. ∫₀¹ 3x² dx = ?
3. Площадь круга с радиусом 2:
4. ∫₀^π sin x dx = ?
5. log₂ 8 = ?
Аналитическая геометрия — раздел математики, в котором геометрические задачи решают алгебраическими методами.
Уравнение прямой:
Расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0:
Уравнение окружности:
где (a, b) — центр, R — радиус.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых:
Найдите расстояние от точки (3, 4) до прямой 3x + 4y − 12 = 0.
Решение:
d = |3·3 + 4·4 − 12| / √(9 + 16) = |9 + 16 − 12| / 5 = 13/5 = 2,6.
Ответ: 13/5
Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (1, 2) и (3, 6).
Решение:
k = (6 − 2)/(3 − 1) = 4/2 = 2.
y − 2 = 2(x − 1) → y = 2x.
Ответ: y = 2x
Найдите центр и радиус окружности: x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.
Решение:
Группируем: (x² − 6x) + (y² + 4y) = 12.
(x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 = 12 → (x − 3)² + (y + 2)² = 25.
Центр (3, −2), радиус R = 5.
Ответ: Центр (3, −2), R = 5
Найдите расстояние от начала координат до прямой x + y − 5 = 0.
d = |1·0 + 1·0 − 5| / √(1 + 1) = 5/√2 = 5√2/2.
Ответ: 5√2/2
Найдите точку пересечения прямых y = 2x + 1 и y = −x + 4.
Приравниваем: 2x + 1 = −x + 4 → 3x = 3 → x = 1.
y = 2·1 + 1 = 3.
Ответ: (1, 3)
Прямая проходит через точку (2, −1) параллельно прямой y = 3x + 5. Найдите уравнение этой прямой.
Параллельная прямая имеет тот же угловой коэффициент: k = 3.
y − (−1) = 3(x − 2) → y = 3x − 7.
Ответ: y = 3x − 7
1. Угловой коэффициент прямой y = 3x − 2 равен:
2. Уравнение окружности с центром (0, 0) и радиусом 5:
3. Прямые y = 2x + 1 и y = 2x − 3 являются:
Тригонометрические уравнения — уравнения, в которых неизвестная находится под знаком тригонометрической функции.
Основные уравнения:
Метод замены t = tg(x/2):
Равносильность уравнений: при переходе к новому уравнению необходимо проверять, что все решения удовлетворяют области допустимых значений.
Уравнения вида a·sin x + b·cos x = c:
Решите: sin²x − sin x − 2 = 0 на [0; 2π].
Решение:
Положим t = sin x: t² − t − 2 = 0 → (t − 2)(t + 1) = 0.
t = 2 (не подходит, |sin x| ≤ 1) или t = −1.
sin x = −1 → x = 3π/2.
Ответ: x = 3π/2
Решите: cos 2x + cos x + 1 = 0 на [0; 2π].
Решение:
cos 2x = 2cos²x − 1, следовательно 2cos²x − 1 + cos x + 1 = 0.
2cos²x + cos x = 0 → cos x(2cos x + 1) = 0.
cos x = 0: x = π/2, 3π/2. cos x = −1/2: x = 2π/3, 4π/3.
Ответ: x ∈ {π/2, 2π/3, 4π/3, 3π/2}
Решите: sin 2x = cos x на [0; 2π].
Решение:
2sin x · cos x = cos x → cos x(2sin x − 1) = 0.
cos x = 0: x = π/2, 3π/2. sin x = 1/2: x = π/6, 5π/6.
Ответ: x ∈ {π/6, π/2, 5π/6, 3π/2}
Решите: 2cos²x − 3cos x + 1 = 0 на [0; 2π].
t = cos x: 2t² − 3t + 1 = 0 → (2t − 1)(t − 1) = 0.
t = 1/2: x = π/3, 5π/3. t = 1: x = 0.
Ответ: x ∈ {0, π/3, 5π/3}
Решите: sin x + cos x = 1 на [0; 2π].
Приведение: √2 · sin(x + π/4) = 1 → sin(x + π/4) = 1/√2.
x + π/4 = π/4 → x = 0. x + π/4 = 3π/4 → x = π/2.
Ответ: x ∈ {0, π/2}
Решите: 2sin²x + 3sin x + 1 = 0 на [0; 2π].
t = sin x: 2t² + 3t + 1 = 0 → (2t + 1)(t + 1) = 0.
t = −1/2: x = 7π/6, 11π/6. t = −1: x = 3π/2.
Ответ: x ∈ {7π/6, 3π/2, 11π/6}
1. Число корней уравнения sin x = 0,5 на [0; 2π] равно:
2. cos 2x = ? (через cos x)
3. Решение уравнения tg x = 1 на [0; π]: