Натуральные числа, дроби, десятичные дроби, проценты
Натуральные числа — это числа 1, 2, 3, 4, 5, ... , которые используются для счёта предметов. Множество натуральных чисел обозначается буквой ℕ.
Число называется простым, если оно больше 1 и делится только на 1 и на само себя. Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13 — простые.
Число называется составным, если у него есть делители, отличные от 1 и самого числа. Числа 4, 6, 8, 9, 10 — составные.
Является ли число 37 простым?
Решение: √37 ≈ 6,08. Проверяем деление: 37 ÷ 2 = 18,5; 37 ÷ 3 = 12,33; 37 ÷ 5 = 7,4. Ни одно не делит нацело. Значит, 37 — простое число.
Разложите число 60 на простые множители.
Решение: 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. Ответ: 60 = 2² × 3 × 5.
Сколько простых чисел между 20 и 30?
Решение: Проверяем числа: 21 = 3×7 (нет), 22 = 2×11 (нет), 23 — простое (да), 24 (нет), 25 = 5×5 (нет), 26 = 2×13 (нет), 27 = 3×9 (нет), 28 (нет), 29 — простое (да). Ответ: 2 числа (23 и 29).
Найдите НОД(48, 36) методом Евклида.
Решение: 48 = 36 × 1 + 12; 36 = 12 × 3 + 0. Остаток стал 0, значит НОД = 12.
1. Какое из чисел является простым?
2. Чему равен НОД(24, 36)?
Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где a — числитель, b — знаменатель (b ≠ 0).
Сравнение дробей: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.
Сложение дробей: a/c + b/c = (a + b)/c
Умножение дробей: (a/b) × (c/d) = (a·c)/(b·d)
Вычислите: 3/4 + 5/6
Решение: ОДЗ = 12. 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12. 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.
Вычислите: (2/3) × (9/10)
Решение: (2 × 9)/(3 × 10) = 18/30 = 3/5 (сократили на 6).
Вычислите: 5/6 ÷ 15/18
Решение: Деление — умножение на обратную дробь. (5/6) × (18/15) = (5 × 18)/(6 × 15) = 90/90 = 1.
Вычислите: 7/8 − 3/5
Решение: ОДЗ = 40. 7/8 = 35/40, 3/5 = 24/40. 35/40 − 24/40 = 11/40.
Упростите дробь: 84/126
Решение: НОД(84, 126) = 42. 84/126 = (84÷42)/(126÷42) = 2/3.
1. Чему равна сумма 1/3 + 1/6?
2. Вычислите: (3/4) × (8/9)
Десятичная дробь — это запись числа с помощью десятичной запятой. Например: 3,14; 0,5; 12,75.
Десятичная дробь — это дробь с десятичной системой счисления. Например, 0,3 = 3/10, 0,25 = 25/100 = 1/4.
Сложение и вычитание: Записываем числа друг под другом, выравнивая запятые.
Умножение: Умножаем как натуральные числа, затем ставим запятую так, чтобы суммарное число знаков после запятой совпадало с суммой знаков в обоих числах.
Вычислите: 5,73 + 2,48
Решение: 5,73 + 2,48 = 8,21.
Вычислите: 3,6 × 0,5
Решение: 36 × 5 = 180. В первом числе 1 знак после запятой, во втором — тоже 1. Итого 2 знака: 1,80 = 1,8.
Переведите в обыкновенную дробь: 0,125
Решение: 0,125 = 125/1000 = 1/8 (сократили на 125).
Вычислите: 10,5 − 3,78
Решение: 10,50 − 3,78 = 6,72. (Дописываем ноль, чтобы выровнять знаки после запятой.)
Переведите в десятичную дробь: 7/8
Решение: 7 ÷ 8 = 0,875. Ответ: 0,875.
1. Чему равна сумма 2,5 + 3,75?
2. Десятичная дробь 0,6 равна обыкновенной дроби:
Процент — это сотая часть числа. Обозначается символом %. Например, 15% = 15/100 = 0,15.
Формула процента: X% от числа A = (X/100) × A
Найти число по его проценту: A = B / (X/100), где B — известная часть, X% — её доля.
Найти, сколько процентов составляет одно число от другого: (B / A) × 100%
Найдите 25% от числа 360.
Решение: 25% = 0,25. 0,25 × 360 = 90. Ответ: 90.
После увеличения на 20% цена стала 720 руб. Чему равна первоначальная цена?
Решение: Пусть цена была x. После увеличения: x × 1,20 = 720. x = 720 / 1,20 = 600 руб.
В школе учатся 840 учеников. 35% из них — девочки. Сколько девочек учится в школе?
Решение: 35% от 840 = 0,35 × 840 = 294. Ответ: 294 девочки.
Скидка 15% снизила цену телефона до 17 000 руб. Чему равна цена без скидки?
Решение: 17 000 руб. — это 85% (100% − 15%). Цена без скидки: 17 000 / 0,85 = 20 000 руб.
Из 60 грибов оказалось ядовитых 12. Какой процент грибов ядовитый?
Решение: (12 / 60) × 100% = 0,2 × 100% = 20%. Ответ: 20%.
1. Найдите 40% от числа 250.
2. Число увеличилось на 25% и стало 150. Каким было исходное число?
3. Какой процент составляет 18 от 72?
Площадь прямоугольника: S = a × b (произведение сторон).
Площадь квадрата: S = a²
Площадь треугольника: S = (a × h) / 2 (основание × высота / 2).
Объём куба: V = a³
Объём прямоугольного параллелепипеда: V = a × b × c
Найдите площадь треугольника с основанием 12 см и высотой 8 см.
Решение: S = (12 × 8) / 2 = 96 / 2 = 48 см².
Найдите объём куба с ребром 5 см.
Решение: V = 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 см³.
Прямоугольник имеет площадь 150 см² и одну сторону 10 см. Найдите другую сторону.
Решение: S = a × b → 150 = 10 × b → b = 150 / 10 = 15 см.
Школьная парты имеют длину 120 см и ширину 60 см. Чему равна площадь одной парты в м²?
Решение: Переводим в метры: 120 см = 1,2 м; 60 см = 0,6 м. S = 1,2 × 0,6 = 0,72 м².
1. Чему равна площадь квадрата со стороной 7 см?
2. Объём прямоугольного параллелепипеда 3×4×5 равен: