Отрицательные числа, пропорциональные числа, уравнения, координаты на прямой
Целые числа — это натуральные числа, число 0 и отрицательные числа: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Отрицательные числа нужны, чтобы обозначать, например, температуру ниже нуля, долг или движение в обратном направлении.
На числовой прямой числа расположены так: чем больше число, тем правее оно находится. Любое положительное число больше любого отрицательного.
Сравнение: −5 < −2 < 0 < 3 < 7. Чем ближе число к нулю, тем оно «больше» среди отрицательных.
Вычислите: (−7) + (−3)
Решение: Складываем отрицательные числа: (−7) + (−3) = −10. Оба числа отрицательные, результат — число с большей абсолютной величиной и знаком минус.
Вычислите: (−5) + 12
Решение: Разноимённые числа: 12 − 5 = 7. Знак результата — знак числа с большей абсолютной величиной: +7.
Вычислите: (−4) × (−6)
Решение: Произведение двух отрицательных чисел положительно. 4 × 6 = 24. Ответ: 24.
Вычислите: (−15) − (−8)
Решение: (−15) − (−8) = (−15) + 8 = −7. Вычитание отрицательного — это сложение положительного.
Вычислите: 3 × (−7) + (−5)
Решение: 3 × (−7) = −21. Далее: (−21) + (−5) = −26.
На числовой прямой точка A обозначает число −3, а точка B — число 5. Какое расстояние между ними?
Решение: Расстояние = |5 − (−3)| = |5 + 3| = 8. Расстояние между точками — всегда положительное число.
1. Чему равна сумма (−8) + (−12)?
2. Какое число больше: −7 или −3?
Отношение двух чисел a и b — это частное a/b. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого.
Пропорциональные числа — это отношение их длин отрезков. Если отрезки относятся как 2 : 3, это значит, что первый отрезок в 2/3 длины второго.
Масштаб карты — это отношение расстояния на карте к реальному расстоянию. Например, масштаб 1 : 100 000 означает, что 1 см на карте = 100 000 см = 1 км в реальности.
На карте масштаба 1 : 200 000 расстояние между городами равно 5 см. Чему равно реальное расстояние?
Решение: 5 см × 200 000 = 1 000 000 см = 10 км. Реальное расстояние — 10 км.
Длина отрезка AB = 15 см. Точка C делит отрезок в отношении 2 : 1. Найдите длину AC.
Решение: AC = 15 × 2/(2+1) = 15 × 2/3 = 10 см.
Реальное расстояние между двумя городами 240 км. На карте это расстояние равно 8 см. Какой масштаб карты?
Решение: 240 км = 24 000 000 см. Масштаб = 8 : 24 000 000 = 1 : 3 000 000.
Сумма двух чисел равна 40. Найдите числа, если они относятся как 3 : 5.
Решение: 3 + 5 = 8 частей. Одна часть = 40 / 8 = 5. Числа: 3 × 5 = 15 и 5 × 5 = 25.
1. Карта имеет масштаб 1 : 50 000. Какое реальное расстояние соответствует 3 см на карте?
2. Числа 12 и 18 находятся в отношении:
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестную переменную (обычно обозначается x). Решить уравнение — значит найти значение x, при котором равенство верно.
Свойства уравнений: К обеим частям уравнения можно прибавить или вычесть одно и то же число, умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля) — равенство сохранится.
Составление уравнения: Переведите условие задачи на язык математики, обозначив неизвестное буквой x.
Решите уравнение: 3x − 7 = 14
Решение: 3x = 14 + 7 → 3x = 21 → x = 7. Проверка: 3 × 7 − 7 = 21 − 7 = 14. ✓
Решите уравнение: 2(x + 5) = 18
Решение: 2x + 10 = 18 → 2x = 8 → x = 4. Проверка: 2(4 + 5) = 2 × 9 = 18. ✓
Составьте уравнение: «Число, увеличенное в 4 раза и уменьшенное на 3, равно 25».
Решение: 4x − 3 = 25 → 4x = 28 → x = 7.
Решите уравнение: 5x + 3 = 2x + 18
Решение: 5x − 2x = 18 − 3 → 3x = 15 → x = 5.
Решите уравнение: (x − 3)/2 = 7
Решение: x − 3 = 14 → x = 17. Проверка: (17 − 3)/2 = 14/2 = 7. ✓
1. Решите: 2x + 8 = 20
2. Решите: 3(x − 2) = 15
Числовая прямая — это прямая линия с указанной точкой начала (ноль) и выбранным направлением и масштабом.
Координата точки — это число, которое стоит напротив этой точки на числовой прямой.
Расстояние между точками A(a) и B(b): |a − b| (модуль разности координат).
Середина отрезка: Если точка M — середина отрезка AB, то координата M = (a + b) / 2.
Найдите расстояние между точками A(−4) и B(6).
Решение: |6 − (−4)| = |6 + 4| = |10| = 10. Расстояние равно 10.
Точка M — середина отрезка с концами в точках A(−2) и B(8). Найдите координату M.
Решение: M = (−2 + 8) / 2 = 6 / 2 = 3. Координата M равна 3.
На числовой прямой точка A имеет координату −5, точка B — координату 3. Найдите расстояние AB.
Решение: AB = |3 − (−5)| = |3 + 5| = |8| = 8.
Середина отрезка имеет координату 4, а один конец — координату −1. Найдите координату другого конца.
Решение: Пусть второй конец — x. Тогда (−1 + x) / 2 = 4 → −1 + x = 8 → x = 9.
Точка C делит отрезок AB в отношении 1 : 2, где A(−3) и B(9). Найдите координату C (ближе к A).
Решение: Длина AB = 9 − (−3) = 12. AC = 12 × 1/(1+2) = 4. Координата C = −3 + 4 = 1.
1. Расстояние между точками A(−6) и B(2) равно:
2. Середина отрезка AB, где A(1) и B(9), имеет координату: