Рациональные числа, линейные уравнения, пропорциональность, координатная плоскость
Рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, b ≠ 0. К рациональным числам относятся целые числа и дроби (обыкновенные и десятичные).
Сравнение: Чтобы сравнить рациональные числа, приведите их к общему знаменателю или переведите в десятичную запись.
Сложение: a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
Вычитание: a/b − c/d = (ad − bc)/(bd)
Умножение: (a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
Деление: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (ad)/(bc)
Модуль числа: |x| — расстояние числа x от нуля на числовой прямой. Если x ≥ 0, то |x| = x; если x < 0, то |x| = −x.
Вычислите: (−3/4) + (5/6)
Решение: ОДЗ = 12. (−3/4) = −9/12; (5/6) = 10/12. −9/12 + 10/12 = 1/12.
Вычислите: |−7| − |3| + |−2|
Решение: |−7| = 7; |3| = 3; |−2| = 2. 7 − 3 + 2 = 6.
Вычислите: (−2/3) × (−9/4)
Решение: (−2) × (−9) = 18; 3 × 4 = 12. 18/12 = 3/2 = 1,5.
Вычислите: (5/6 − 1/3) × (−12)
Решение: 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2. Далее: (1/2) × (−12) = −6.
Сравните: −3,5 и −17/5
Решение: −17/5 = −3,4. Поскольку −3,4 > −3,5 (−3,4 правее на числовой прямой), то −17/5 > −3,5.
Найдите значение выражения: (−4)² − |−5| + (−3)
Решение: (−4)² = 16; |−5| = 5. 16 − 5 + (−3) = 16 − 5 − 3 = 8.
1. Чему равно (−2) × (−3) × (−4)?
2. Чему равен модуль числа |−8,5|?
Линейное уравнение — это уравнение вида ax + b = 0, где a ≠ 0. Решение: x = −b/a.
Уравнения с переменной в обеих частях: Перенесите все слагаемые с x в одну часть, а числа — в другую. Затем разделите коэффициент.
Уравнения со скобками: Сначала раскройте скобки, затем решайте как обычное линейное уравнение.
Дробные уравнения: Умножьте обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.
Решите: 7x − 21 = 0
Решение: 7x = 21 → x = 3. Проверка: 7 × 3 − 21 = 21 − 21 = 0. ✓
Решите: 4(x − 3) + 2 = 3(x + 1)
Решение: 4x − 12 + 2 = 3x + 3 → 4x − 10 = 3x + 3 → x = 13. Проверка: 4(13−3)+2 = 42; 3(13+1) = 42. ✓
Решите уравнение: (2x + 1)/3 = (x − 5)/2
Решение: Умножаем на 6: 2(2x + 1) = 3(x − 5) → 4x + 2 = 3x − 15 → x = −17.
Решите: 5(x + 2) − 3(x − 1) = 22
Решение: 5x + 10 − 3x + 3 = 22 → 2x + 13 = 22 → 2x = 9 → x = 4,5.
Решите: (x + 3)/5 − (2x − 1)/3 = 1
Решение: Умножаем на 15: 3(x + 3) − 5(2x − 1) = 15 → 3x + 9 − 10x + 5 = 15 → −7x + 14 = 15 → −7x = 1 → x = −1/7.
Найдите x, при котором выражение 3x + 7 равно выражению 5x − 3.
Решение: 3x + 7 = 5x − 3 → 7 + 3 = 5x − 3x → 10 = 2x → x = 5.
1. Решите: 3x + 9 = 0
2. Решите: 2(x − 4) = 3(x + 2)
Прямая пропорциональность — зависимость вида y = kx, где k — коэффициент пропорциональности (k ≠ 0). При увеличении x в n раз y тоже увеличивается в n раз.
Обратная пропорциональность — зависимость вида y = k/x. При увеличении x в n раз y уменьшается в n раз.
Нахождение коэффициента: Подставьте известные значения x и y в формулу и найдите k.
График прямой пропорциональности — это прямая линия, проходящая через начало координат.
Автомобиль проезжает 150 км за 2,5 часа. Составьте формулу зависимости расстояния от времени и найдите расстояние за 4 часа.
Решение: Скорость v = 150 / 2,5 = 60 км/ч. Формула: s = 60t. При t = 4: s = 60 × 4 = 240 км.
y обратно пропорциональна x. При x = 4, y = 6. Найдите y при x = 8.
Решение: y = k/x → 6 = k/4 → k = 24. При x = 8: y = 24/8 = 3.
y прямо пропорциональна x. При x = 3, y = −12. Найдите y при x = −5.
Решение: y = kx → −12 = 3k → k = −4. При x = −5: y = (−4) × (−5) = 20.
Пружина удлиняется на 0,5 см под нагрузкой 2 кг. Какая нагрузка нужна для удлинения на 2 см?
Решение: Это прямая пропорциональность. k = 0,5/2 = 0,25 см/кг. Нагрузка = 2 / 0,25 = 8 кг.
4 рабочих выполняют работу за 10 дней. Сколько дней потребуется 5 рабочим?
Решение: Это обратная пропорциональность. Объём работы = 4 × 10 = 40 человеко-дней. Для 5 рабочих: 40 / 5 = 8 дней.
1. y = 3x. Чему равно y при x = −4?
2. При какой зависимости увеличение x в 2 раза ведёт к уменьшению y в 2 раза?
Координатная плоскость — это две пересекающиеся под прямым углом прямые (оси), одна из которых горизонтальная (ось OX), а другая вертикальная (ось OY). Точка пересечения — начало координат O(0, 0).
Координаты точки — пара чисел (x; y), где x — абсцисса (горизонтальное положение), y — ордината (вертикальное положение).
Расстояние от точки до оси OX: |y|
Расстояние от точки до оси OY: |x|
Координатная плоскость делится на 4 четверти:
В какой четверти находится точка A(−3; 5)?
Решение: x = −3 < 0, y = 5 > 0. Это II четверть.
На каком расстоянии от оси OX находится точка B(4; −7)?
Решение: Расстояние от оси OX = |y| = |−7| = 7.
Построить график функции y = 2x − 1. Какие точки он проходит?
Решение: При x = 0: y = −1. Точка (0; −1). При x = 1: y = 1. Точка (1; 1). При x = −1: y = −3. Точка (−1; −3). Соединяем точки прямой.
Определите четверть для точек: A(2; 3), B(−4; 1), C(−2; −5), D(6; −2).
Решение: A(2; 3): I четверть (+; +). B(−4; 1): II четверть (−; +). C(−2; −5): III четверть (−; −). D(6; −2): IV четверть (+; −).
Найдите координаты точки, симметричной точке A(3; −4) относительно оси OX.
Решение: Симметрия относительно оси OX: абсцисса остаётся, ордината меняет знак. Ответ: A'(3; 4).
Найдите координаты точки, симметричной точке B(−2; 5) относительно начала координат.
Решение: Симметрия относительно начала координат: оба знака меняются. Ответ: B'(2; −5).
1. В какой четверти точка (−5; −3)?
2. Точка, симметричная (4; −6) относительно оси OY, имеет координаты: