Изучаем квадратные уравнения, квадратичную функцию и основы геометрии треугольников.
Квадратным уравнением называется уравнение вида:
Числа a, b, c называются коэффициентами, а x — неизвестным.
Для решения квадратного уравнения используется формула корней:
где D = b² - 4ac — дискриминант.
Если D > 0 — два различных корня; D = 0 — один корень (двойной); D < 0 — корней нет.
Решите уравнение: x² - 5x + 6 = 0
Решение: a = 1, b = -5, c = 6
D = (-5)² - 4·1·6 = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 - 1) / 2 = 2
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 2
Решите уравнение: 2x² + 3x - 2 = 0
Решение: a = 2, b = 3, c = -2
D = 3² - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25
x₁ = (-3 + 5) / 4 = 2/4 = 0,5
x₂ = (-3 - 5) / 4 = -8/4 = -2
Ответ: x₁ = 0,5, x₂ = -2
Решите уравнение: x² + 4x + 4 = 0
Решение: a = 1, b = 4, c = 4
D = 4² - 4·1·4 = 16 - 16 = 0
x = -4 / 2 = -2 (один корень)
Ответ: x = -2
Решите уравнение: x² + 2x - 15 = 0
Решение: a = 1, b = 2, c = -15
D = 4 + 60 = 64
x₁ = (-2 + 8) / 2 = 3, x₂ = (-2 - 8) / 2 = -5
Ответ: x₁ = 3, x₂ = -5
Решите уравнение: 4x² - 12x + 9 = 0
Решение: a = 4, b = -12, c = 9
D = 144 - 144 = 0
x = 12 / 8 = 1,5 (один корень)
Ответ: x = 1,5
Решите уравнение: x² - 9 = 0
Решение: a = 1, b = 0, c = -9
D = 0 + 36 = 36
x₁ = (0 + 6) / 2 = 3, x₂ = (0 - 6) / 2 = -3
Можно заметить: x² = 9, значит x = ±3
Ответ: x₁ = 3, x₂ = -3
Решите уравнение: x² - 7x + 12 = 0
D = 49 - 48 = 1
x₁ = (7 + 1)/2 = 4, x₂ = (7 - 1)/2 = 3
Ответ: x₁ = 4, x₂ = 3
Решите уравнение: 3x² - x - 2 = 0
D = 1 + 24 = 25
x₁ = (1 + 5)/6 = 1, x₂ = (1 - 5)/6 = -2/3
Ответ: x₁ = 1, x₂ = -2/3
Найдите сумму корней уравнения x² - 9x + 14 = 0
По свойству корней: x₁ + x₂ = -b/a = 9/1 = 9
Ответ: 9
Решите уравнение: 2x² - 7x + 3 = 0
D = 49 - 24 = 25
x₁ = (7 + 5)/4 = 3, x₂ = (7 - 5)/4 = 1/2
Ответ: x₁ = 3, x₂ = 0,5
Сколько корней имеет уравнение x² + 4x + 5 = 0?
D = 16 - 20 = -4 < 0
Дискриминант отрицателен
Ответ: корней нет
Найдите произведение корней уравнения x² - 5x + 6 = 0
По свойству корней: x₁ · x₂ = c/a = 6/1 = 6
Проверим: 3 · 2 = 6 ✓
Ответ: 6
1. Чему равен дискриминант уравнения x² - 4x + 3 = 0?
2. Сколько корней имеет уравнение 2x² + 1 = 0?
3. Чему равен x₁ + x₂ для уравнения x² - 5x + 6 = 0?
4. Чему равен дискриминант уравнения x² - 6x + 9 = 0?
5. Уравнение x² + 3x + 10 = 0 имеет:
Квадратичной функцией называется функция вида:
График квадратичной функции — парабола.
Если a > 0 — ветви направлены вверх, если a < 0 — вниз.
Вершина параболы имеет координаты:
Ось симметрии: x = -b/(2a). Парабола симметрична относительно этой прямой.
Найдите координаты вершины параболы y = x² - 4x + 3
Решение: a = 1, b = -4, c = 3
x₀ = -(-4)/(2·1) = 4/2 = 2
y₀ = 4·1·3 - 16 / (4·1) = (12 - 16)/4 = -1
Ответ: вершина (2; -1)
Постройте график y = -x² + 2x + 3. Определите, куда направлены ветви.
Решение: a = -1 < 0, значит ветви направлены вниз.
Вершина: x₀ = -2/(2·(-1)) = 1, y₀ = -1 + 2 + 3 = 4
Вершина (1; 4). Парабола пересекает ось Ox в точках (-1, 0) и (3, 0).
Ответ: ветви вниз, вершина (1; 4)
При каких значениях x функция y = x² - 6x + 8 принимает положительные значения?
Решение: Найдём корни: x² - 6x + 8 = 0, D = 36 - 32 = 4
x₁ = (6 + 2)/2 = 4, x₂ = (6 - 2)/2 = 2
Парабола направлена вверх (a = 1 > 0), положительна вне корней.
Ответ: x < 2 или x > 4
Найдите точки пересечения параболы y = x² - 2x - 3 с осями координат.
Решение: С осью Ox: x² - 2x - 3 = 0, D = 4 + 12 = 16
x₁ = (2 + 4)/2 = 3, x₂ = (2 - 4)/2 = -1. Точки (3; 0) и (-1; 0).
С осью Oy: x = 0, y = -3. Точка (0; -3).
Ответ: с Ox: (3; 0) и (-1; 0), с Oy: (0; -3)
Найдите наибольшее значение функции y = -x² + 6x - 5
Решение: a = -1 < 0, значит максимум в вершине.
x₀ = -6/(2·(-1)) = 3
y₀ = -9 + 18 - 5 = 4
Ответ: наибольшее значение равно 4
При каких x функция y = -2x² + 8x - 6 ≤ 0?
Решение: Найдём корни: -2x² + 8x - 6 = 0 → x² - 4x + 3 = 0
x₁ = 1, x₂ = 3. a = -2 < 0, парабола вниз, отрицательна вне корней.
Ответ: x ≤ 1 или x ≥ 3
Найдите координаты вершины параболы y = x² + 2x - 3
x₀ = -2/(2·1) = -1
y₀ = 1 - 2 - 3 = -4
Ответ: (-1; -4)
При каких x функция y = -x² + 5x - 6 принимает отрицательные значения?
Корни: x² - 5x + 6 = 0, x₁ = 2, x₂ = 3
a = -1 < 0, парабола вниз, отрицательна вне корней.
Ответ: x < 2 или x > 3
Найдите наибольшее значение функции y = -2x² + 8x - 5
x₀ = -8/(2·(-2)) = 2
y₀ = -2·4 + 16 - 5 = 3
Ответ: 3
Найдите координаты вершины параболы y = -x² + 4x + 1
x₀ = -4/(2·(-1)) = 2
y₀ = -4 + 8 + 1 = 5
Ответ: (2; 5)
При каких x функция y = x² - 4x + 3 ≥ 0?
Корни: x² - 4x + 3 = 0, (x-1)(x-3) = 0, x₁ = 1, x₂ = 3
a = 1 > 0, парабола вверх, положительна вне корней.
Ответ: x ≤ 1 или x ≥ 3
Парабола y = x² + bx + c проходит через точки (0; 3) и (1; 0). Найдите b и c.
Из точки (0; 3): c = 3
Из точки (1; 0): 1 + b + 3 = 0, b = -4
Ответ: b = -4, c = 3
1. Куда направлены ветви параболы y = 2x² - 4x + 1?
2. Координаты вершины параболы y = x² - 8x + 12:
3. У какого a парабола y = ax² + 2x + 1 не пересекает ось Ox?
4. Вершина параболы y = x² - 10x + 21 имеет координаты:
5. Функция y = x² + 2x + 5 принимает значения:
Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Виды треугольников по сторонам:
Виды треугольников по углам:
В треугольнике два угла равны 45° и 60°. Найдите третий угол.
Решение: Сумма углов = 180°
γ = 180° - 45° - 60° = 75°
Ответ: 75°
Равнобедренный треугольник имеет основание 8 см и боковые стороны по 5 см. Найдите периметр.
Решение: P = 5 + 5 + 8 = 18 см
Ответ: 18 см
Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Определите вид треугольника.
Решение: Все стороны различны — разносторонний.
Проверим: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² — теорема Пифагора выполняется!
Ответ: прямоугольный разносторонний
Периметр равностороннего треугольника равен 36 см. Найдите сторону.
Решение: Все стороны равны, значит a = 36 / 3 = 12 см
Ответ: 12 см
В треугольнике угол A = 40°, угол B = 70°. Определите вид треугольника по углам.
Решение: C = 180° - 40° - 70° = 70°
Все углы меньше 90°, значит треугольник остроугольный.
Также угол B = угол C, значит треугольник равнобедренный.
Ответ: остроугольный равнобедренный
Стороны треугольника равны 5, 5 и 8. Найдите периметр и определите вид.
Решение: P = 5 + 5 + 8 = 18 см
Две стороны равны — равнобедренный.
Проверим неравенство: 5 + 5 > 8 ✓, 5 + 8 > 5 ✓
Ответ: P = 18 см, равнобедренный
Чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике?
Все углы равны: 180° / 3 = 60°
Ответ: 60°
Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, основание равно 10 см. Найдите боковую сторону.
28 - 10 = 18 — сумма двух боковых сторон
18 / 2 = 9 см
Ответ: 9 см
Два угла треугольника равны 35° и 95°. Какой это треугольник по углам?
Третий угол: 180° - 35° - 95° = 50°
Один угол тупой (95° > 90°)
Ответ: тупоугольный
Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Какой это треугольник по сторонам?
Все стороны различны — разносторонний.
Ответ: разносторонний
Один угол треугольника равен 60°, а два других равны между собой. Найдите все углы.
Пусть два равных угла = α. Тогда 60° + 2α = 180°
2α = 120°, α = 60°
Все углы = 60° — равносторонний
Ответ: 60°, 60°, 60°
Могут ли стороны 2, 3 и 6 образовать треугольник?
Проверяем: 2 + 3 = 5 < 6
Сумма двух сторон меньше третьей — треугольник невозможен.
Ответ: нет, не могут
1. Сумма углов треугольника равна:
2. Стороны 5, 5, 8 — это треугольник:
3. Если один угол треугольника = 90°, то треугольник:
4. Стороны 3, 4, 6 — это треугольник:
5. Можно ли построить треугольник со сторонами 1, 2, 3?
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
где c — гипотенуза (сторона против прямого угла), a и b — катеты.
Обратная теорема: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то этот треугольник прямоугольный.
Числа Пифагора — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) и т.д.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.
Решение: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10
Ответ: 10
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, один катет — 5. Найдите второй катет.
Решение: b² = c² - a² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
b = √144 = 12
Ответ: 12
Треугольник имеет стороны 7, 24 и 25. Является ли он прямоугольным?
Решение: Проверяем: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
Условие теоремы Пифагора выполняется.
Ответ: да, прямоугольный
Найдите катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза = 15, а второй катет = 9.
Решение: a² = c² - b² = 225 - 81 = 144
a = √144 = 12
Ответ: 12
Стороны треугольника 15, 20, 25. Является ли он прямоугольным? Найдите площадь.
Решение: 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25²
Да, прямоугольный. Катеты: 15 и 20.
S = (15 · 20) / 2 = 150
Ответ: прямоугольный, площадь = 150
В прямоугольном треугольнике один катет в 3 раза больше другого, гипотенуза = 10. Найдите катеты.
Решение: Пусть a = x, b = 3x
x² + 9x² = 100 → 10x² = 100 → x² = 10 → x = √10
Ответ: a = √10, b = 3√10
Катеты равны 9 и 12. Найдите гипотенузу.
c² = 81 + 144 = 225
c = √225 = 15
Ответ: 15
Гипотенуза равна 17, катет = 8. Найдите второй катет.
b² = 289 - 64 = 225
b = 15
Ответ: 15
Стороны треугольника: 10, 24, 26. Найдите площадь, если это прямоугольный треугольник.
Проверяем: 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26² — прямоугольный
Катеты: 10 и 24
S = (10 · 24) / 2 = 120
Ответ: 120
Гипотенуза = 20, один катет = 12. Найдите второй катет.
b² = 400 - 144 = 256
b = √256 = 16
Ответ: 16
Стороны треугольника: 8, 15, 17. Найдите его площадь.
8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² — прямоугольный!
Катеты: 8 и 15
S = (8 · 15) / 2 = 60
Ответ: 60
Стороны треугольника: 5, 7, 10. Является ли он прямоугольным?
5² + 7² = 25 + 49 = 74
10² = 100
74 ≠ 100 — теорема Пифагора не выполняется.
Ответ: нет, не является
1. Катеты 3 и 4. Чему равна гипотенуза?
2. Гипотенуза = 10, катет = 6. Второй катет равен:
3. Треугольник со сторонами 9, 12, 15 — это:
4. Чему равен второй катет, если гипотенуза = 13, катет = 5?
5. Треугольник со сторонами 6, 8, 11:
Многие задачи нахождения неизвестных размеров приводят к квадратным уравнениям.
Типичные ситуации:
Алгоритм решения: 1) Обозначить неизвестное; 2) Составить уравнение; 3) Решить; 4) Проверить и записать ответ.
Длина прямоугольника на 3 см больше ширины. Площадь равна 70 см². Найдите стороны.
Решение: Пусть ширина = x, тогда длина = x + 3
x(x + 3) = 70 → x² + 3x - 70 = 0
D = 9 + 280 = 289 = 17²
x = (-3 + 17)/2 = 7, x = (-3 - 17)/2 = -10 (не подходит)
Ответ: ширина 7 см, длина 10 см
Сколько будет 5² + 12²? Является ли число суммой двух квадратов?
Решение: 25 + 144 = 169 = 13²
Да, это квадрат числа 13.
Ответ: 169, да (это тройка Пифагора 5-12-13)
Брат старше сестры на 4 года. Через 6 лет сумма их возрастов будет 30 лет. Сколько лет каждому сейчас?
Решение: Пусть сестре x лет, тогда брату x + 4
(x + 6) + (x + 4 + 6) = 30 → 2x + 16 = 30 → 2x = 14 → x = 7
Ответ: сестре 7 лет, брату 11 лет
Число и его обратное число в сумме дают 2,5. Найдите число.
Решение: Пусть число = x, тогда 1/x — обратное.
x + 1/x = 2,5 → x² - 2,5x + 1 = 0 → 2x² - 5x + 2 = 0
D = 25 - 16 = 9
x₁ = (5 + 3)/4 = 2, x₂ = (5 - 3)/4 = 0,5
Ответ: 2 или 0,5
В прямоугольнике диагональ равна 10 см, а одна сторона на 2 см больше другой. Найдите стороны.
Решение: Пусть сторона = x, другая = x + 2
x² + (x + 2)² = 100 → 2x² + 4x + 4 = 100 → 2x² + 4x - 96 = 0
x² + 2x - 48 = 0, D = 4 + 192 = 196
x = (-2 + 14)/2 = 6, x = (-2 - 14)/2 = -8 (не подходит)
Ответ: 6 см и 8 см
Сумма числа и его удвоенного квадрата равна 20. Найдите число.
Решение: x + 2x² = 20 → 2x² + x - 20 = 0
D = 1 + 160 = 161
x = (-1 ± √161) / 4
Приближённо: x ≈ 2,76 или x ≈ -3,26
Ответ: x ≈ 2,76 или x ≈ -3,26
Периметр прямоугольника равен 28 см, а площадь — 48 см². Найдите стороны.
x(14 - x) = 48 → x² - 14x + 48 = 0
D = 196 - 192 = 4
x₁ = (14 + 2)/2 = 8, x₂ = (14 - 2)/2 = 6
Ответ: 6 см и 8 см
Сумма числа и его квадрата равна 56. Найдите число.
x² + x = 56 → x² + x - 56 = 0
D = 1 + 224 = 225
x = (-1 + 15)/2 = 7, x = (-1 - 15)/2 = -8
Ответ: 7 или -8
Отрезок AB = 10. На нем от точки A отложили отрезок AD, а от точки B — BC так, что CD = 2. Найдите AD и BC, если AD = 3·BC.
Пусть BC = x, тогда AD = 3x
AB = AD + DC + CB = 3x + 2 + x = 4x + 2 = 10
4x = 8, x = 2
Ответ: BC = 2, AD = 6
Сторона квадрата увеличена на 3 см. Площадь увеличилась на 39 см². Найдите сторону квадрата.
(x + 3)² - x² = 39 → x² + 6x + 9 - x² = 39
6x = 30, x = 5
Ответ: 5 см
Два автомобиля едут навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Расстояние между ними 280 км. Через сколько часов они встретятся?
Скорость сближения: 60 + 80 = 140 км/ч
Время: 280 / 140 = 2 часа
Ответ: через 2 часа
Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины. Если длину увеличить на 4 см, а ширину уменьшить на 1 см, площадь не изменится. Найдите стороны.
Пусть ширина = x, длина = 2x
2x · x = (2x + 4)(x - 1)
2x² = 2x² + 2x - 4 → 2x = 4 → x = 2
Ответ: ширина 2 см, длина 4 см
1. Прямоугольник с периметром 20 и площадью 24. Каковы стороны?
2. Сумма числа и его квадрата = 20. Число равно:
3. Тройка (6, 8, 10) — это:
4. Площадь прямоугольника 56 см², одна сторона на 1 см длиннее другой. Найдите стороны.
5. Число и его квадрат в сумме дают 30. Число равно:
Степень числа — это число, возведённое в степень:
Свойства степеней:
Корень n-й степени: √ⁿ(a) — число, которое при возведении в степень n даёт a.
Квадратный корень: √a — число, квадрат которого равен a (a ≥ 0).
Вычислите: 2³ · 2⁴
Решение: 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128
Ответ: 128
Вычислите: (3²)⁴
Решение: (3²)⁴ = 3²ˣ⁴ = 3⁸ = 6561
Ответ: 6561
Вычислите: √144 + ∛27
Решение: √144 = 12, ∛27 = 3
12 + 3 = 15
Ответ: 15
Вычислите: 5⁰ + 5¹ + 5²
5⁰ = 1, 5¹ = 5, 5² = 25
1 + 5 + 25 = 31
Ответ: 31
Вычислите: ∛64 · √81
∛64 = 4, √81 = 9
4 · 9 = 36
Ответ: 36
При каком n числа 2ⁿ = 1024?
2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024
Ответ: n = 10
1. Чему равно 10⁰?
2. √49 равен:
3. 3⁴ равен:
4. (2³)² равен:
5. ∛125 равен:
Рациональное выражение — дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены.
Основные операции:
Сокращение дробей: можно сократить числитель и знаменатель на общий множитель.
Решение уравнений: приводим к общему знаменателю, затем приравниваем числители.
Выполните: (x + 1)/3 + (x - 2)/6
Решение: Общий знаменатель = 6
2(x + 1)/6 + (x - 2)/6 = (2x + 2 + x - 2)/6 = 3x/6 = x/2
Ответ: x/2
Решите: 1/x + 1/(x + 1) = 3/2
Решение: Общий знаменатель: x(x + 1)
(x + 1 + x) / (x(x + 1)) = 3/2
(2x + 1) / (x² + x) = 3/2
2(2x + 1) = 3(x² + x) → 4x + 2 = 3x² + 3x
3x² - x - 2 = 0, D = 1 + 24 = 25
x₁ = (1 + 5)/6 = 1, x₂ = (1 - 5)/6 = -2/3
Ответ: x₁ = 1, x₂ = -2/3
Упростите: (x² - 9)/(x² + 5x + 6)
Решение: Числитель: x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Знаменатель: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
(x - 3)(x + 3) / ((x + 2)(x + 3)) = (x - 3)/(x + 2)
Ответ: (x - 3)/(x + 2)
Выполните: (x - 1)/2 - (x + 3)/4
2(x - 1)/4 - (x + 3)/4 = (2x - 2 - x - 3)/4 = (x - 5)/4
Ответ: (x - 5)/4
Решите: 2/(x - 1) = 3/(x + 1)
2(x + 1) = 3(x - 1)
2x + 2 = 3x - 3
x = 5
Ответ: x = 5
Упростите: (x² - 4x + 4)/(x² - 4)
Числитель: (x - 2)²
Знаменатель: (x - 2)(x + 2)
(x - 2)² / ((x - 2)(x + 2)) = (x - 2)/(x + 2)
Ответ: (x - 2)/(x + 2)
1. (x + 2)/5 + (x - 2)/5 = ?
2. (x² - 1)/(x + 1) = ?
3. Решите: 1/(x - 2) = 1/3
4. Упростите: (2x + 4)/(x² + 2x)
5. (3/4) : (1/2) = ?