Углубляем знания квадратичной функции, изучаем основы тригонометрии и статистики. Готовимся к ОГЭ!
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Свойства графика (параболы):
Дискриминант: D = b² - 4ac. Если D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — корней нет.
Знаки функции: функция положительна или отрицательна на промежутках, определяемых корнями уравнения ax² + bx + c = 0.
Найдите область определения, область значений, область убывания и возрастания функции y = x² - 6x + 5.
Решение:
Область определения: (-∞; +∞)
Вершина: x₀ = 6/2 = 3, y₀ = 9 - 18 + 5 = -4
Область значений: [-4; +∞)
Убывает: (-∞; 3], возрастает: [3; +∞)
Ответ: Обл. значений [-4; +∞), убывание на (-∞; 3], возрастание на [3; +∞)
При каких x функция y = -x² + 4x - 3 положительна?
Решение: Найдём корни: -x² + 4x - 3 = 0 → x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0, корни: x₁ = 1, x₂ = 3
a = -1 < 0, парабола направлена вниз, положительна между корнями.
Ответ: x ∈ (1; 3)
Постройте график y = 2x² - 8x + 6. Определите минимум функции.
Решение: a = 2 > 0 — минимум.
x₀ = 8/(2·2) = 2, y₀ = 8 - 16 + 6 = -2
Корни: 2x² - 8x + 6 = 0 → x² - 4x + 3 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 3
Ответ: минимум равен -2 при x = 2
Найдите точки пересечения параболы y = x² - 5x + 6 с осями координат.
Решение:
С Ox: x² - 5x + 6 = 0 → (x - 2)(x - 3) = 0, x₁ = 2, x₂ = 3
С Oy: x = 0, y = 6
Ответ: с Ox: (2; 0) и (3; 0), с Oy: (0; 6)
При каких x функция y = -2x² + 12x - 10 принимает положительные значения?
Решение: Корни: -2x² + 12x - 10 = 0 → x² - 6x + 5 = 0
(x - 1)(x - 5) = 0, x₁ = 1, x₂ = 5
a = -2 < 0, парабола вниз, положительна между корнями.
Ответ: x ∈ (1; 5)
Парабола y = x² + bx - 3 проходит через точку (2; 5). Найдите b.
Решение: Подставляем x = 2, y = 5:
4 + 2b - 3 = 5 → 2b = 4 → b = 2
Ответ: b = 2
Найдите максимум функции y = -3x² + 12x - 7
x₀ = -12/(2·(-3)) = 2
y₀ = -12 + 24 - 7 = 5
Ответ: максимум = 5 при x = 2
При каких x функция y = x² + 2x - 8 ≤ 0?
Корни: x² + 2x - 8 = 0, D = 4 + 32 = 36
x₁ = (-2 + 6)/2 = 2, x₂ = (-2 - 6)/2 = -4
a > 0, парабола вверх, отрицательна (или ноль) между корнями.
Ответ: x ∈ [-4; 2]
Парабола y = x² + bx + c проходит через точки (1; 0) и (3; 0). Найдите b и c.
Корни x₁ = 1, x₂ = 3, значит y = (x - 1)(x - 3) = x² - 4x + 3
b = -4, c = 3
Ответ: b = -4, c = 3
Найдите наибольшее значение функции y = -x² + 8x - 12
x₀ = -8/(2·(-1)) = 4
y₀ = -16 + 32 - 12 = 4
Ответ: максимум = 4 при x = 4
При каких x функция y = x² - 4x - 5 ≥ 0?
Корни: x² - 4x - 5 = 0, D = 16 + 20 = 36
x₁ = (4 + 6)/2 = 5, x₂ = (4 - 6)/2 = -1
a > 0, парабола вверх, положительна вне корней.
Ответ: x ≤ -1 или x ≥ 5
Парабола y = x² + bx + c имеет вершину в точке (3; -4). Найдите b и c.
x₀ = -b/(2·1) = 3 → b = -6
y₀ = 9 - 18 + c = -4 → c = 5
Ответ: b = -6, c = 5
1. Какова область значений функции y = x² - 1?
2. При каком a > 0 парабола y = ax² имеет минимум?
3. Функция y = -x² + 4 убывает на промежутке:
4. Функция y = x² - 2x + 5 принимает наибольшее значение:
5. Корни уравнения x² - 5x + 6 = 0:
Тригонометрия изучает зависимости между углами и сторонами треугольников.
Основные тригонометрические функции:
Значения для особых углов:
Основное тригонометрическое тождество:
В прямоугольном треугольнике катет = 3, гипотенуза = 5. Найдите sin α, cos α, tg α для угла α, лежащего против катета 3.
Решение:
Второй катет: √(25 - 9) = √16 = 4
sin α = 3/5 = 0,6
cos α = 4/5 = 0,8
tg α = 3/4 = 0,75
Ответ: sin α = 0,6, cos α = 0,8, tg α = 0,75
Найдите sin 150°.
Решение: 150° = 180° - 30°
sin 150° = sin 30° = 1/2
Ответ: sin 150° = 1/2
Докажите, что sin²60° + cos²60° = 1.
Решение:
sin²60° = (√3/2)² = 3/4
cos²60° = (1/2)² = 1/4
3/4 + 1/4 = 1. Доказано!
Ответ: sin²60° + cos²60° = 1 ✓
Найдите sin 120°.
Решение: 120° = 180° - 60°
sin 120° = sin 60° = √3/2
Ответ: sin 120° = √3/2
Вычислите: (tg 45° + cos 60°) · sin 30°
Решение:
tg 45° = 1, cos 60° = 1/2, sin 30° = 1/2
(1 + 1/2) · 1/2 = (3/2) · (1/2) = 3/4
Ответ: 3/4
В прямоугольном треугольнике гипотенуза = 10, один катет = 6. Найдите sin α и cos α (α — угол против катета 6).
Решение: Второй катет: √(100 - 36) = √64 = 8
sin α = 6/10 = 3/5 = 0,6
cos α = 8/10 = 4/5 = 0,8
Ответ: sin α = 3/5, cos α = 4/5
Найдите tg α, если sin α = 3/5 и α — острый угол.
cos²α = 1 - 9/25 = 16/25, cos α = 4/5
tg α = (3/5)/(4/5) = 3/4
Ответ: tg α = 3/4
Найдите cos 120°.
120° = 180° - 60°
cos 120° = -cos 60° = -1/2
Ответ: -1/2
Вычислите: sin²45° - cos²45° + tg²45°
sin²45° = 1/2, cos²45° = 1/2, tg²45° = 1
1/2 - 1/2 + 1 = 1
Ответ: 1
Найдите cos 150°.
150° = 180° - 30°
cos 150° = -cos 30° = -√3/2
Ответ: -√3/2
Вычислите: sin²30° + cos²30° + tg²60°
sin²30° = 1/4, cos²30° = 3/4, tg²60° = 3
1/4 + 3/4 + 3 = 4
Ответ: 4
Найдите sin α, если cos α = 5/13 и α — острый угол.
sin²α = 1 - cos²α = 1 - 25/169 = 144/169
sin α = 12/13
Ответ: 12/13
1. Чему равен sin 45°?
2. В прямоугольном треугольнике катет = 5, гипотенуза = 13. cos α (прилежащий к катету 5):
3. sin²α + cos²α = ?
4. sin 150° равен:
5. tg 60° равен:
Статистика — раздел математики, изучающий сбор, обработку и анализ данных.
Основные понятия:
Найдите среднее арифметическое, медиану и моду набора: 3, 7, 3, 9, 5
Решение:
Среднее: (3 + 7 + 3 + 9 + 5)/5 = 27/5 = 5,4
Упорядочим: 3, 3, 5, 7, 9. Медиана = 5
Мода = 3 (встречается дважды)
Ответ: среднее 5,4, медиана 5, мода 3
Найдите размах набора: 12, 8, 15, 9, 11, 7
Решение:
Максимальное значение = 15, минимальное = 7
Размах = 15 - 7 = 8
Ответ: 8
Найдите дисперсию набора: 2, 4, 6
Решение:
Среднее: (2 + 4 + 6)/3 = 4
D = ((2-4)² + (4-4)² + (6-4)²)/3 = (4 + 0 + 4)/3 = 8/3 ≈ 2,67
Ответ: 8/3
Найдите среднее квадратическое отклонение набора: 1, 3, 5
Решение:
Среднее: (1 + 3 + 5)/3 = 3
D = ((1-3)² + (3-3)² + (5-3)²)/3 = (4 + 0 + 4)/3 = 8/3
σ = √(8/3) ≈ 1,63
Ответ: √(8/3) ≈ 1,63
Найдите медиану набора: 12, 3, 7, 1, 9, 5
Решение:
Упорядочим: 1, 3, 5, 7, 9, 12
Чётное количество элементов, медиана = среднее двух средних: (5 + 7)/2 = 6
Ответ: 6
В наборе: 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10. Какие характеристики совпадают?
Решение:
Среднее: (5 + 7 + 7 + 8 + 10 + 10 + 10)/7 = 57/7 ≈ 8,14
Медиана = 8 (средний элемент)
Мода = 10 (встречается 3 раза)
Ничего не совпадает.
Ответ: среднее ≈ 8,14, медиана = 8, мода = 10 — все различны
Найдите среднее арифметическое оценок: 4, 5, 3, 5, 4, 5
(4 + 5 + 3 + 5 + 4 + 5)/6 = 26/6 ≈ 4,33
Ответ: 4,33
Найдите медиану набора: 10, 2, 8, 4, 6
Упорядочим: 2, 4, 6, 8, 10
Медиана = 6 (средний элемент)
Ответ: 6
В классе из 20 учеников 5 получили «5», 10 — «4», 3 — «3», 2 — «2». Найдите средний балл.
(5·5 + 10·4 + 3·3 + 2·2)/20 = (25 + 40 + 9 + 4)/20 = 78/20 = 3,9
Ответ: 3,9
Найдите дисперсию набора: 3, 5, 7, 9, 11
Среднее: (3 + 5 + 7 + 9 + 11)/5 = 7
D = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 40/5 = 8
Ответ: 8
Мода набора: 2, 4, 4, 4, 6, 8. Медиана:
Упорядочим: 2, 4, 4, 4, 6, 8
6 элементов, медиана = (4 + 4)/2 = 4
Ответ: 4
Среднее арифметическое 4 чисел равно 12. Каким должно быть пятое число, чтобы среднее всех 5 стало 15?
Сумма первых 4: 4 × 12 = 48
Сумма всех 5: 5 × 15 = 75
Пятое число: 75 - 48 = 27
Ответ: 27
1. Мода набора 1, 2, 2, 3, 4 равна:
2. Среднее арифметическое 10, 20, 30 равно:
3. Медиана набора 1, 3, 5, 7, 9 равна:
4. Размах набора 5, 10, 15, 20 равен:
5. Среднее арифметическое 0, 10, 20, 30 равно:
ОГЭ по математике включает задания по алгебре и геометрии.
Основные темы для подготовки:
Советы по подготовке:
Решите уравнение: 2x² - 5x + 3 = 0
Решение:
D = 25 - 24 = 1
x₁ = (5 + 1)/4 = 1,5, x₂ = (5 - 1)/4 = 1
Ответ: x₁ = 1,5; x₂ = 1
Постройте график y = -x² + 4x - 3 и определите, при каких x функция положительна.
Решение:
Корни: x² - 4x + 3 = 0, x₁ = 1, x₂ = 3
a = -1 < 0, парабола вниз, положительна между корнями.
Ответ: x ∈ (1; 3)
В прямоугольном треугольнике катеты равны a и b, гипотенуза c. Известно, что a + b = 7 и c = 5. Найдите ab.
Решение:
По теореме Пифагора: a² + b² = 25
(a + b)² = a² + 2ab + b² = 49
25 + 2ab = 49 → 2ab = 24 → ab = 12
Ответ: 12
Найдите среднее арифметическое: 2, 4, 6, 8
Решение:
(2 + 4 + 6 + 8)/4 = 20/4 = 5
Ответ: 5
Найдите cos α, если sin α = 8/17 и α — острый угол.
Решение:
cos²α = 1 - 64/289 = 225/289
cos α = 15/17
Ответ: 15/17
Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведенную к стороне 14.
Решение:
p = (13 + 14 + 15)/2 = 21
S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84
h = 2S/a = 168/14 = 12
Ответ: 12
Решите: x² - 8x + 12 = 0
D = 64 - 48 = 16
x₁ = (8 + 4)/2 = 6, x₂ = (8 - 4)/2 = 2
Ответ: x₁ = 6; x₂ = 2
Найдите sin 60° · cos 30° + cos 60° · sin 30°
(√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1
Ответ: 1
Среднее арифметическое 5 чисел равно 10. Каким должно быть шестое число, чтобы среднее всех 6 чисел стало 12?
Сумма первых 5: 5 × 10 = 50
Сумма всех 6: 6 × 12 = 72
Шестое число: 72 - 50 = 22
Ответ: 22
Решите: 3x² + 7x - 6 = 0
D = 49 + 72 = 121
x₁ = (-7 + 11)/6 = 2/3, x₂ = (-7 - 11)/6 = -3
Ответ: x₁ = 2/3, x₂ = -3
Найдите sin 225°.
225° = 180° + 45°
sin 225° = -sin 45° = -√2/2
Ответ: -√2/2
Длина окружности равна 20π. Найдите радиус и площадь круга.
L = 2πr = 20π → r = 10
S = πr² = 100π
Ответ: r = 10, S = 100π
1. Количество корней уравнения x² - 6x + 9 = 0:
2. Найдите tg 45°:
3. Среднее арифметическое 2, 4, 6, 8, 10 равно:
4. Корни уравнения x² + x - 6 = 0:
5. Формула площади треугольника: S = ?
Формулы площадей:
Площадь треугольника через тригонометрию:
где a и b — стороны, C — угол между ними.
Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 6 и 7.
Решение: Формула Герона: p = (5 + 6 + 7)/2 = 9
S = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 = 6√6 ≈ 14,7
Ответ: 6√6
Найдите площадь треугольника, у которого две стороны равны 8 и 10, а угол между ними 30°.
Решение: S = (1/2) · 8 · 10 · sin 30° = (1/2) · 80 · 1/2 = 20
Ответ: 20
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение: r = (a + b - c)/2, где c = √(36 + 64) = 10
r = (6 + 8 - 10)/2 = 4/2 = 2
Ответ: 2
Найдите площадь ромба с диагоналями 6 и 8.
Решение: S = (d₁ · d₂) / 2 = (6 · 8) / 2 = 24
Ответ: 24
В прямоугольном треугольнике катеты 5 и 12. Найдите радиус описанной окружности.
Решение: Гипотенуза: √(25 + 144) = √169 = 13
R = c/2 = 13/2 = 6,5
Ответ: R = 6,5
Найдите длину дуги окружности с радиусом 6 и центральным углом 60°.
Решение: L = (π · r · α) / 180° = (π · 6 · 60°) / 180° = 2π
Ответ: 2π ≈ 6,28
Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 12 и высотой 5.
S = ((8 + 12) · 5)/2 = (20 · 5)/2 = 50
Ответ: 50
Площадь круга равна 49π. Найдите радиус.
πr² = 49π → r² = 49 → r = 7
Ответ: 7
Два равносторонних треугольника имеют стороны 6 и 8. Во сколько раз площадь второго больше площади первого?
S₁ = (√3/4)·36 = 9√3
S₂ = (√3/4)·64 = 16√3
S₂/S₁ = 16√3 / 9√3 = 16/9
Ответ: в 16/9 раза
Ромб имеет сторону 5 и одну диагональ 8. Найдите вторую диагональ.
Диагонали ромба делятся пополам под прямым углом.
Половина одной диагонали = 4, сторона = 5
Половина второй: √(25 - 16) = √9 = 3
Вторая диагональ = 6
Ответ: 6
Площадь круга равна 16π. Найдите длину окружности.
πr² = 16π → r = 4
L = 2πr = 8π
Ответ: 8π
Треугольник со сторонами 7, 24 и 25. Найдите радиус вписанной окружности.
Проверяем: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² — прямоугольный
r = (a + b - c)/2 = (7 + 24 - 25)/2 = 6/2 = 3
Ответ: 3
1. Площадь прямоугольника со сторонами 7 и 5 равна:
2. Площадь круга с радиусом 3 равна:
3. Высота равностороннего треугольника со стороной 4 равна:
4. Площадь треугольника со сторонами 3, 4, 5 равна:
5. Формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). Для треугольника 3, 4, 5 полупериметр p = ?
Вероятность — числовая мера возможности наступления события.
Формула вероятности:
где m — число благоприятных исходов, n — общее число равновозможных исходов.
Свойства вероятности:
Комбинаторика:
В мешке 5 белых и 3 чёрных шара. Какова вероятность вытащить белый шар?
Решение: Всего шаров: 5 + 3 = 8. Белых: 5.
P = 5/8 = 0,625
Ответ: 5/8
Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа больше 4?
Решение: Благоприятные исходы: 5, 6 (2 исхода). Всего: 6.
P = 2/6 = 1/3
Ответ: 1/3
Сколькими способами можно выбрать 2 книги из 5?
Решение: C⁵₂ = 5! / (2! · 3!) = (5 · 4) / (2 · 1) = 10
Ответ: 10 способами
В коробке 4 красные и 6 синих карандашей. Какова вероятность вытащить красный карандаш?
Всего: 4 + 6 = 10. Красных: 4.
P = 4/10 = 2/5
Ответ: 2/5
Из 7 человек нужно выбрать делегатов 2. Сколькими способами?
C⁷₂ = 7! / (2! · 5!) = (7 · 6) / 2 = 21
Ответ: 21 способ
Какова вероятность выпадения чётного числа при броске кости?
Чётные: 2, 4, 6 — три исхода. Всего: 6.
P = 3/6 = 1/2
Ответ: 1/2
1. Бросаем монету. Вероятность выпадения орла:
2. C⁴₂ = ?
3. 5! = ?
4. Вероятность выпадения числа 7 на игральной кости:
5. Сколькими способами можно выбрать 1 книгу из 10?
Логарифм числа a по основанию b — это степень, в которую нужно возвести b, чтобы получить a.
Основные свойства:
Свойства операций:
Формула перехода: log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)
Найдите log₂(32).
Решение: 2⁵ = 32, значит log₂(32) = 5
Ответ: 5
Вычислите: log₃(9) + log₃(27)
Решение: log₃(9) = 2 (3² = 9), log₃(27) = 3 (3³ = 27)
2 + 3 = 5
Ответ: 5
Упростите: log₂(8 · 4)
Решение: log₂(8 · 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5
Или: 8 · 4 = 32 = 2⁵, log₂(32) = 5
Ответ: 5
Найдите log₅(25).
5² = 25
Ответ: 2
Вычислите: log₁₀(1000) - log₁₀(10)
log₁₀(1000) = 3, log₁₀(10) = 1
3 - 1 = 2
Ответ: 2
Упростите: log₂(16³)
log₂(16³) = 3 · log₂(16) = 3 · 4 = 12
Ответ: 12
1. log₂(8) = ?
2. log₁₀(100) = ?
3. log₅(1) = ?
4. 2^(log₂(7)) = ?
5. log₃(3⁵) = ?